پیاده سازی مسائل کاربردی در نرم افزار گمز

معرفی فاصله دایره بزرگ (Great Circle Distance)

فاصله دایره بزرگ (Great Circle Distance) کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح یک کره (مانند زمین) است. این مسیر بر روی دایره‌ای قرار می‌گیرد که از مرکز کره عبور می‌کند. این مفهوم در ناوبری، حمل‌ونقل و بسیاری از مسائل لجستیک که نیازمند محاسبه دقیق فواصل جغرافیایی هستند، از اهمیت بالایی برخوردار است. بر خلاف فاصله اقلیدسی که در فضای مسطح کاربرد دارد، فاصله دایره بزرگ انحنای زمین را در نظر می‌گیرد و نتایج بسیار دقیق‌تری برای فواصل طولانی ارائه می‌دهد.

کاربرد فاصله دایره بزرگ در مسائل بهینه‌سازی در GAMS

در نرم‌افزار GAMS، اگرچه هدف اصلی بهینه‌سازی است نه صرفاً محاسبات هندسی، اما فاصله دایره بزرگ می‌تواند به‌عنوان یک جزء حیاتی در مدل‌های مختلف بهینه‌سازی مورد استفاده قرار گیرد. به‌عنوان مثال:

• مسائل مکان‌یابی (Facility Location): برای یافتن بهینه‌ترین مکان برای احداث انبارها، بیمارستان‌ها یا مراکز توزیع با در نظر گرفتن فواصل واقعی به مشتریان.
• مسائل مسیریابی وسیله نقلیه (Vehicle Routing Problems): برای تعیین کوتاه‌ترین مسیرها برای ناوگان حمل‌ونقل کالا یا خدمات.
• مسائل برنامه‌ریزی حمل‌ونقل (Transportation Problems): برای محاسبه هزینه‌های حمل‌ونقل که اغلب تابعی از فاصله جغرافیایی هستند.
• مدل‌های انرژی و منابع (Energy and Resource Models): در مدلسازی انتقال منابع (مانند گاز طبیعی یا نفت) از نقاط تولید به نقاط مصرف.

در این سناریوها، مختصات جغرافیایی (عرض و طول جغرافیایی) نقاط به‌عنوان ورودی‌های مدل در نظر گرفته می‌شوند و فواصل دایره بزرگ بین آن‌ها باید محاسبه و به‌عنوان پارامتر در قیود یا تابع هدف بهینه‌سازی وارد شوند.

پیاده‌سازی مفهومی فرمول هاورسین در GAMS

نرم‌افزار GAMS مستقیماً برای برنامه‌نویسی رویه‌ای (مانند پایتون یا متلب) طراحی نشده است، بلکه یک زبان مدلسازی جبری است. بنابراین، “کد محاسبه” به معنای تعریف پارامترها و معادلات برای انجام این محاسبه در داخل مدل GAMS خواهد بود. برای استفاده از این فرمول در GAMS، مراحل زیر را می‌توان دنبال کرد:

1. تعریف مجموعه‌ها (Sets):

• یک مجموعه برای نقاط مورد نظر، مثلاً i برای مبدأها و j برای مقصدها.

1. تعریف پارامترها (Parameters):

• radius_earth: شعاع زمین (مثلاً 6371 کیلومتر).
• pi: ثابت ریاضی $\pi$π (GAMS دارای تابع pi است).
• lat_deg(i): عرض جغرافیایی نقطه i بر حسب درجه.
• lon_deg(i): طول جغرافیایی نقطه i بر حسب درجه.
• lat_rad(i): پارامتری برای ذخیره عرض جغرافیایی نقطه i بر حسب رادیان.
• lon_rad(i): پارامتری برای ذخیره طول جغرافیایی نقطه i بر حسب رادیان

چالش‌ها و ملاحظات در GAMS

• خوانایی: فرمول هاورسین نسبتاً طولانی است و قرار دادن آن به‌صورت یکجا در یک خط GAMS می‌تواند خوانایی کد را کاهش دهد. استفاده از پارامترهای کمکی متعدد برای مراحل میانی فرمول (مثلاً برای $\Delta lat$Δlat, $\Delta lon$Δlon, $a$a, $c$c) می‌تواند به بهبود خوانایی کمک کند.
• غیرخطی بودن: خود این محاسبه شامل توابع غیرخطی (sin, cos, sqrt, atan2) است. این موضوع زمانی اهمیت پیدا می‌کند که نیاز باشد متغیرهای مدل در این محاسبه دخیل باشند (مثلاً اگر مختصات نقاط خودشان متغیر باشند که کمتر پیش می‌آید). اما در اغلب موارد، مختصات نقاط پارامترهای ثابت هستند و GAMS این پارامترها را پیش از شروع حل بهینه‌سازی محاسبه می‌کند.
• دقت: برای دقت بالاتر، می‌توان از مختصات جغرافیایی دقیق‌تر و شعاع دقیق‌تر زمین استفاده کرد.

مزایای پیاده‌سازی این محاسبه در GAMS

• یکپارچگی مدل: فواصل مستقیماً درون مدل GAMS محاسبه و مورد استفاده قرار می‌گیرند، که نیاز به پیش‌پردازش داده‌ها در نرم‌افزارهای خارجی را کاهش می‌دهد.
• اتوماسیون: با تغییر داده‌های ورودی (مختصات نقاط)، فواصل به‌صورت خودکار باز محاسبه می‌شوند.
• تحلیل حساسیت: امکان بررسی تأثیر تغییرات در مکان نقاط بر روی نتایج بهینه‌سازی.

جمع‌بندی

محاسبه فاصله دایره بزرگ یک ابزار ضروری برای مدل‌سازی دقیق مسائل جغرافیایی در بهینه‌سازی است. با اینکه GAMS یک زبان مدلسازی جبری است، اما با استفاده از پارامترها و توابع ریاضی داخلی خود، می‌توان فرمول‌های پیچیده‌ای مانند هاورسین را برای محاسبه این فواصل پیاده‌سازی کرد. این امکان به کاربران GAMS اجازه می‌دهد تا مدل‌های واقع‌بینانه‌تری را توسعه دهند که انحنای زمین را در محاسبات فاصله در نظر می‌گیرد، و در نتیجه به راه‌حل‌های بهینه‌تر و عملی‌تر دست یابند.

کلیدواژه ها : GAMS-فاصله دایره بزرگ-Great Circle Distance-فرمول هاورسین-Haversine Formula-مدلسازی جبری-بهینه‌سازی-مسائل لجستیک-مکان‌یابی-مسیریابی-ناوبری-مختصات جغرافیایی-عرض جغرافیایی-طول جغرافیایی-شعاع زمین