مسئله بهینه‌سازی شش ضلعی با بزرگترین مساحت

مسئله پیدا کردن یک چندضلعی با تعداد مشخصی ضلع (در اینجا شش ضلعی) که بیشترین مساحت را تحت یک قید محیطی ثابت داشته باشد، یک مسئله کلاسیک هندسی-بهینه‌سازی است. از دیدگاه هندسی، پاسخ این مسئله یک شش ضلعی منتظم است. هدف از مدلسازی این مسئله در GAMS نه لزوماً یافتن پاسخ هندسی (که شناخته شده است)، بلکه تمرین مدلسازی هندسه‌های پیچیده و استفاده از فرمول‌های مساحت بر مبنای مختصات رأس‌ها به عنوان تابع هدف است.

مدلسازی مفهومی در GAMS

مدل بهینه‌سازی در GAMS شامل اجزای زیر خواهد بود:

  1. متغیرهای تصمیم (Variables): مختصات (xi,yi)(x_i, y_i)(xi​,yi​) هر یک از شش رأس شش ضلعی. این متغیرها موقعیت هندسی شکل را تعیین می‌کنند.
  2. تابع هدف (Objective Function): فرمول مساحت شش ضلعی که بر اساس مختصات رأس‌ها محاسبه می‌شود (مانند فرمول گاوس یا روش مثلث‌بندی). هدف ماکسیمم‌سازی این تابع است.
  3. قید محیطی (Perimeter Constraint): قیدی که مجموع طول شش ضلع شش ضلعی را برابر با یک مقدار ثابت قرار می‌دهد. طول هر ضلع بر اساس فاصله اقلیدسی بین دو رأس متوالی محاسبه می‌شود.

ماهیت غیرخطی مسئله (NLP)

این مسئله یک مثال بارز از برنامه‌ریزی غیرخطی (NLP) است. دلیل این امر در دو بخش اصلی مدلسازی نهفته است:

  • محاسبه مساحت: فرمول‌های مساحت چندضلعی‌ها بر اساس مختصات، اغلب شامل ضرب متغیرهای مختصاتی در یکدیگر است.
  • محاسبه طول اضلاع: طول هر ضلع با استفاده از قضیه فیثاغورث (جذر مجموع مربع تفاضل مختصات) محاسبه می‌شود. وجود رادیکال‌ها و مربع متغیرها، مدل را غیرخطی می‌کند.

برای حل این مدل در GAMS، استفاده از یک حل‌کننده قوی NLP (مانند CONOPT یا IPOPT) ضروری است تا بتواند یک نقطه بهینه محلی یا جهانی را پیدا کند.

استفاده از Put Writing Facility برای گزارش‌دهی خروجی‌ها

پس از حل موفقیت‌آمیز مدل بهینه‌سازی شش ضلعی، مهم است که نتایج به شکلی سازماندهی‌شده و قابل استفاده استخراج شوند. ابزار استاندارد Display در GAMS تنها یک خروجی جدولی ساده ارائه می‌دهد که برای گزارش‌های رسمی یا خروجی‌های ساختاریافته مناسب نیست. Put Writing Facility ابزاری قدرتمند است که این نقیصه را برطرف می‌کند.

معرفی Put Facility

Put Writing Facility به کاربران GAMS اجازه می‌دهد تا با استفاده از یک زبان دستوری ساده، فایل‌های متنی یا ساختاریافته (مانند CSV، HTML یا فایل‌های گزارش سفارشی) تولید کنند. این ابزار امکان گزارش‌دهی خارج از ساختار پیش‌فرض GAMS را فراهم کرده و اجازه می‌دهد متغیرها، پارامترها و نتایج بهینه‌سازی با دقت بالا و فرمت دلخواه در یک فایل خارجی نوشته شوند.

مراحل مفهومی گزارش‌دهی نتایج شش ضلعی

برای تهیه یک گزارش جامع از نتایج شش ضلعی بهینه، مراحل زیر در GAMS انجام می‌شود:

  1. تعریف فایل (File Definition): ابتدا یک نام منطقی (Handle) برای فایل خروجی مورد نظر تعریف می‌شود.
  • مثال: File ReportFile /Hexagon_Results.txt/;
  1. باز کردن فایل (Opening the File): فایل برای عملیات نوشتن باز می‌شود.
  • مثال: ReportFile.nd=2; (تعیین تعداد اعشار برای دقت)
  • مثال: Put ReportFile; (باز کردن فایل)
  1. نوشتن اطلاعات متنی و سربرگ‌ها: توضیحات کلی، عنوان گزارش، و وضعیت حل‌کننده نوشته می‌شود.
  • مثال: Put 'Optimal Hexagon Maximization Report' /;
  1. استخراج و قالب‌بندی نتایج اصلی: مقادیر عددی کلیدی، مانند حداکثر مساحت به‌دست‌آمده و مقدار محیط ثابت (پارامتر قید)، با استفاده از توابع قالب‌بندی (مانند put.tl) نوشته می‌شوند.
  • مثال: Put 'Maximum Area = ', ObjectiveValue.val:10:4 /; (نوشتن مساحت با ۴ رقم اعشار)
  1. گزارش مختصات بهینه: مختصات (xi,yi)(x_i, y_i)(xi​,yi​) بهینه هر یک از شش رأس به‌صورت یک جدول ساختاریافته (مثلاً ستونی) در فایل خروجی درج می‌شوند. این بخش حیاتی‌ترین جزء گزارش هندسی است.
  • استفاده از حلقه‌های Loop در GAMS برای تکرار در مجموعه‌های رأس‌ها (Vertices) و نوشتن مختصات بهینه متغیرهای (xi.l,yi.l)(x_i.l, y_i.l)(xi​.l,yi​.l) برای هر رأس.
  1. نوشتن اطلاعات جانبی: درج وضعیت حل (Solver Status)، زمان محاسبات، و سایر اطلاعات مفید برای ارزیابی عملکرد مدل و حل‌کننده.
  2. بستن فایل (Closing the File): پس از اتمام گزارش‌دهی، فایل باید بسته شود.
  • مثال: Putclose ReportFile;

مزایای استفاده از Put

استفاده از Put Writing Facility در مقابل صرفاً مشاهده خروجی در محیط GAMS، چندین مزیت کلیدی دارد:

  • تولید گزارش‌های سفارشی: ایجاد گزارش‌هایی که مستقیماً قابل ارائه به ذینفعان هستند، بدون نیاز به پردازش دستی داده‌ها.
  • انتقال داده (Data Transfer): صادرات آسان نتایج به نرم‌افزارهای دیگر (مانند Excel برای مصورسازی) با فرمت CSV.
  • اتوماسیون: امکان ادغام کامل فرآیند حل و گزارش‌دهی در یک اسکریپت واحد GAMS.

جمع‌بندی

مدلسازی مسئله شش ضلعی با بزرگترین مساحت یک تمرین عالی در زمینه برنامه‌ریزی غیرخطی و هندسه محاسباتی در GAMS است. پس از حل، استفاده از Put Writing Facility فراتر از یک ابزار ساده، به یک مکانیزم حیاتی برای تبدیل نتایج خام عددی به گزارش‌های معنی‌دار، ساختاریافته و قابل استفاده تبدیل می‌شود که این امر کارایی GAMS را در پروژه‌های کاربردی بهینه‌سازی به شدت افزایش می‌دهد.

کلیدواژه ها : GAMS-بهینه‌سازی-شش ضلعی-مساحت-برنامه‌ریزی غیرخطی-NLP-Put Writing Facility-گزارش‌دهی-خروجی-مدلسازی جبری-فرمول مساحت-مختصات رأس‌ها-حل‌کننده‌های NLP-CONOPT-IPOPT